3.205 \(\int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=180 \[ 3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )-3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {Li}_4\left (e^{2 i x}\right )+\frac {i x^4}{2}-\frac {3 x^3}{4}-2 x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)+\frac {3}{4} x^2 \sin (x) \cos (x)+\frac {3 x}{8}+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)-\frac {3}{8} \sin (x) \cos (x) \]

[Out]

3/8*x+3*I*x^2*polylog(2,exp(2*I*x))-3/4*x^3+1/2*I*x^4-3/2*x^2*cot(x)-1/2*x^3*cot(x)^2+3*x*ln(1-exp(2*I*x))-2*x
^3*ln(1-exp(2*I*x))-3/2*I*polylog(2,exp(2*I*x))-3/2*I*x^2-3*x*polylog(3,exp(2*I*x))-3/2*I*polylog(4,exp(2*I*x)
)-3/8*cos(x)*sin(x)+3/4*x^2*cos(x)*sin(x)-3/4*x*sin(x)^2+1/2*x^3*sin(x)^2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.40, antiderivative size = 180, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 26, number of rules used = 15, integrand size = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 1.250, Rules used = {4408, 3443, 3311, 30, 2635, 8, 3717, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589, 3720, 2279, 2391} \[ 3 i x^2 \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-3 x \text {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {PolyLog}\left (4,e^{2 i x}\right )+\frac {i x^4}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3 i x^2}{2}-2 x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)+\frac {3}{4} x^2 \sin (x) \cos (x)+\frac {3 x}{8}+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)-\frac {3}{8} \sin (x) \cos (x) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3,x]

[Out]

(3*x)/8 - ((3*I)/2)*x^2 - (3*x^3)/4 + (I/2)*x^4 - (3*x^2*Cot[x])/2 - (x^3*Cot[x]^2)/2 + 3*x*Log[1 - E^((2*I)*x
)] - 2*x^3*Log[1 - E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (3*I)*x^2*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] - 3*x*
PolyLog[3, E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[4, E^((2*I)*x)] - (3*Cos[x]*Sin[x])/8 + (3*x^2*Cos[x]*Sin[x])/4 -
(3*x*Sin[x]^2)/4 + (x^3*Sin[x]^2)/2

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2635

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1))/(d*n),
x] + Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integer
Q[2*n]

Rule 3311

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(
b*Sin[e + f*x])^n)/(f^2*n^2), x] + (Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - D
ist[(d^2*m*(m - 1))/(f^2*n^2), Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[(b*(c + d*x)^m*Cos[e +
f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*n), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1]

Rule 3443

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(x^(m - n
+ 1)*Sin[a + b*x^n]^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1)), Int[x^(m - n)*Sin[a + b*x^n]^
(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 4408

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx &=-\int x^3 \cos ^2(x) \cot (x) \, dx+\int x^3 \cot ^3(x) \, dx\\ &=-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {3}{2} \int x^2 \cot ^2(x) \, dx-2 \int x^3 \cot (x) \, dx+\int x^3 \cos (x) \sin (x) \, dx\\ &=-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}-2 i \int \frac {e^{2 i x} x^3}{1-e^{2 i x}} \, dx\right )-\frac {3 \int x^2 \, dx}{2}-\frac {3}{2} \int x^2 \sin ^2(x) \, dx+3 \int x \cot (x) \, dx\\ &=-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {x^3}{2}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-6 i \int \frac {e^{2 i x} x}{1-e^{2 i x}} \, dx-\frac {3 \int x^2 \, dx}{4}+\frac {3}{4} \int \sin ^2(x) \, dx-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-3 \int x^2 \log \left (1-e^{2 i x}\right ) \, dx\right )\\ &=-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )+3 i \int x \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right ) \, dx\right )+\frac {3 \int 1 \, dx}{8}-3 \int \log \left (1-e^{2 i x}\right ) \, dx\\ &=\frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)+\frac {3}{2} i \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \text {Li}_3\left (e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} \int \text {Li}_3\left (e^{2 i x}\right ) \, dx\right )\\ &=\frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \text {Li}_3\left (e^{2 i x}\right )+\frac {3}{4} i \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )\right )\\ &=\frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \text {Li}_3\left (e^{2 i x}\right )+\frac {3}{4} i \text {Li}_4\left (e^{2 i x}\right )\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.41, size = 159, normalized size = 0.88 \[ \frac {1}{32} \left (-96 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{-2 i x}\right )-96 x \text {Li}_3\left (e^{-2 i x}\right )-48 i \text {Li}_2\left (e^{2 i x}\right )+48 i \text {Li}_4\left (e^{-2 i x}\right )-16 i x^4-64 x^3 \log \left (1-e^{-2 i x}\right )-8 x^3 \cos (2 x)-16 x^3 \csc ^2(x)-48 i x^2+12 x^2 \sin (2 x)-48 x^2 \cot (x)+96 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-6 \sin (2 x)+12 x \cos (2 x)+i \pi ^4\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3,x]

[Out]

(I*Pi^4 - (48*I)*x^2 - (16*I)*x^4 + 12*x*Cos[2*x] - 8*x^3*Cos[2*x] - 48*x^2*Cot[x] - 16*x^3*Csc[x]^2 - 64*x^3*
Log[1 - E^((-2*I)*x)] + 96*x*Log[1 - E^((2*I)*x)] - (96*I)*x^2*PolyLog[2, E^((-2*I)*x)] - (48*I)*PolyLog[2, E^
((2*I)*x)] - 96*x*PolyLog[3, E^((-2*I)*x)] + (48*I)*PolyLog[4, E^((-2*I)*x)] - 6*Sin[2*x] + 12*x^2*Sin[2*x])/3
2

________________________________________________________________________________________

fricas [C]  time = 0.51, size = 508, normalized size = 2.82 \[ -\frac {2 \, {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{4} - 2 \, x^{3} - 3 \, {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{2} - {\left ({\left (24 i \, x^{2} - 12 i\right )} \cos \relax (x)^{2} - 24 i \, x^{2} + 12 i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left ({\left (-24 i \, x^{2} + 12 i\right )} \cos \relax (x)^{2} + 24 i \, x^{2} - 12 i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left ({\left (-24 i \, x^{2} + 12 i\right )} \cos \relax (x)^{2} + 24 i \, x^{2} - 12 i\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left ({\left (24 i \, x^{2} - 12 i\right )} \cos \relax (x)^{2} - 24 i \, x^{2} + 12 i\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (-\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \relax (x)^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (-\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x) + 1\right ) - {\left (-48 i \, \cos \relax (x)^{2} + 48 i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left (48 i \, \cos \relax (x)^{2} - 48 i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left (48 i \, \cos \relax (x)^{2} - 48 i\right )} {\rm polylog}\left (4, -\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) - {\left (-48 i \, \cos \relax (x)^{2} + 48 i\right )} {\rm polylog}\left (4, -\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) + 48 \, {\left (x \cos \relax (x)^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) + 48 \, {\left (x \cos \relax (x)^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) + 48 \, {\left (x \cos \relax (x)^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, -\cos \relax (x) + i \, \sin \relax (x)\right ) + 48 \, {\left (x \cos \relax (x)^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, -\cos \relax (x) - i \, \sin \relax (x)\right ) - 3 \, {\left ({\left (2 \, x^{2} - 1\right )} \cos \relax (x)^{3} + {\left (2 \, x^{2} + 1\right )} \cos \relax (x)\right )} \sin \relax (x) - 3 \, x}{8 \, {\left (\cos \relax (x)^{2} - 1\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/8*(2*(2*x^3 - 3*x)*cos(x)^4 - 2*x^3 - 3*(2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - ((24*I*x^2 - 12*I)*cos(x)^2 - 24*I*x^2 + 1
2*I)*dilog(cos(x) + I*sin(x)) - ((-24*I*x^2 + 12*I)*cos(x)^2 + 24*I*x^2 - 12*I)*dilog(cos(x) - I*sin(x)) - ((-
24*I*x^2 + 12*I)*cos(x)^2 + 24*I*x^2 - 12*I)*dilog(-cos(x) + I*sin(x)) - ((24*I*x^2 - 12*I)*cos(x)^2 - 24*I*x^
2 + 12*I)*dilog(-cos(x) - I*sin(x)) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(cos(x) + I*sin(x) + 1) - 4*
(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(cos(x) - I*sin(x) + 1) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*l
og(-cos(x) + I*sin(x) + 1) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(-cos(x) - I*sin(x) + 1) - (-48*I*cos
(x)^2 + 48*I)*polylog(4, cos(x) + I*sin(x)) - (48*I*cos(x)^2 - 48*I)*polylog(4, cos(x) - I*sin(x)) - (48*I*cos
(x)^2 - 48*I)*polylog(4, -cos(x) + I*sin(x)) - (-48*I*cos(x)^2 + 48*I)*polylog(4, -cos(x) - I*sin(x)) + 48*(x*
cos(x)^2 - x)*polylog(3, cos(x) + I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, cos(x) - I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)
^2 - x)*polylog(3, -cos(x) + I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, -cos(x) - I*sin(x)) - 3*((2*x^2 - 1)*c
os(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cos(x))*sin(x) - 3*x)/(cos(x)^2 - 1)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int x^{3} \cos \relax (x)^{2} \cot \relax (x)^{3}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.16, size = 240, normalized size = 1.33 \[ 6 i x^{2} \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i x}\right )-\frac {\left (4 x^{3}+6 i x^{2}-6 x -3 i\right ) {\mathrm e}^{2 i x}}{32}-\frac {\left (4 x^{3}-6 i x^{2}-6 x +3 i\right ) {\mathrm e}^{-2 i x}}{32}+\frac {x^{2} \left (2 x \,{\mathrm e}^{2 i x}-3 i {\mathrm e}^{2 i x}+3 i\right )}{\left ({\mathrm e}^{2 i x}-1\right )^{2}}-2 x^{3} \ln \left (1+{\mathrm e}^{i x}\right )-2 x^{3} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i x}\right )-12 i \polylog \left (4, -{\mathrm e}^{i x}\right )-12 x \polylog \left (3, {\mathrm e}^{i x}\right )+3 x \ln \left (1+{\mathrm e}^{i x}\right )+3 x \ln \left (1-{\mathrm e}^{i x}\right )-12 x \polylog \left (3, -{\mathrm e}^{i x}\right )-3 i x^{2}-3 i \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i x}\right )+6 i x^{2} \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i x}\right )-12 i \polylog \left (4, {\mathrm e}^{i x}\right )-3 i \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i x}\right )+\frac {i x^{4}}{2} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x)

[Out]

-3*I*polylog(2,-exp(I*x))-1/32*(6*I*x^2+4*x^3-3*I-6*x)*exp(2*I*x)-1/32*(-6*I*x^2+4*x^3+3*I-6*x)*exp(-2*I*x)+x^
2*(2*x*exp(2*I*x)-3*I*exp(2*I*x)+3*I)/(exp(2*I*x)-1)^2-2*x^3*ln(1+exp(I*x))-2*x^3*ln(1-exp(I*x))-12*I*polylog(
4,-exp(I*x))-12*x*polylog(3,exp(I*x))+3*x*ln(1+exp(I*x))+3*x*ln(1-exp(I*x))-12*x*polylog(3,-exp(I*x))+6*I*x^2*
polylog(2,exp(I*x))-3*I*x^2+6*I*x^2*polylog(2,-exp(I*x))-3*I*polylog(2,exp(I*x))+1/2*I*x^4-12*I*polylog(4,exp(
I*x))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.95, size = 3719, normalized size = 20.66 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(4*x^3 + (4*x^3 + 6*I*x^2 - 6*x - 3*I)*cos(6*x)^2 - (-32*I*x^4 - 16*x^3 + 168*I*x^2 + 24*x + 12*I)*cos(4*x)^2
- (-32*I*x^4 + 56*x^3 + 96*I*x^2 + 12*x)*cos(2*x)^2 - (4*x^3 + 6*I*x^2 - 6*x - 3*I)*sin(6*x)^2 - (32*I*x^4 +
16*x^3 - 168*I*x^2 - 24*x - 12*I)*sin(4*x)^2 - (32*I*x^4 - 56*x^3 - 96*I*x^2 - 12*x)*sin(2*x)^2 - 6*I*x^2 - ((
128*I*x^3 - 192*I*x)*cos(4*x)^2 + (128*I*x^3 - 192*I*x)*cos(2*x)^2 + (-128*I*x^3 + 192*I*x)*sin(4*x)^2 + (-128
*I*x^3 + 192*I*x)*sin(2*x)^2 + (-64*I*x^3 + (-64*I*x^3 + 96*I*x)*cos(4*x) + (128*I*x^3 - 192*I*x)*cos(2*x) + 3
2*(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x) - 64*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 96*I*x)*cos(6*x) + (128*I*x^3 + (-320*I*x^3 + 480*I*x)*
cos(2*x) + 160*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 192*I*x)*cos(4*x) + (-64*I*x^3 + 96*I*x)*cos(2*x) + (64*x^3 + 32*(2*x^
3 - 3*x)*cos(4*x) - 64*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (64*I*x^3 - 96*I*x)*sin(4*x) + (-128*I*x^3 + 192*I*x)*sin(2*x)
- 96*x)*sin(6*x) - (128*x^3 + 128*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 160*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (320*I*x^3 - 480*I*x)
*sin(2*x) - 192*x)*sin(4*x) + 32*(2*x^3 - 4*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - 3*x)*sin(2*x))*arctan2(sin(x), cos(x) + 1
) - ((-128*I*x^3 + 192*I*x)*cos(4*x)^2 + (-128*I*x^3 + 192*I*x)*cos(2*x)^2 + (128*I*x^3 - 192*I*x)*sin(4*x)^2
+ (128*I*x^3 - 192*I*x)*sin(2*x)^2 + (64*I*x^3 + (64*I*x^3 - 96*I*x)*cos(4*x) + (-128*I*x^3 + 192*I*x)*cos(2*x
) - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x) + 64*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 96*I*x)*cos(6*x) + (-128*I*x^3 + (320*I*x^3 - 480*
I*x)*cos(2*x) - 160*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 192*I*x)*cos(4*x) + (64*I*x^3 - 96*I*x)*cos(2*x) - (64*x^3 + 32*(
2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 64*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (-64*I*x^3 + 96*I*x)*sin(4*x) - (128*I*x^3 - 192*I*x)*sin(
2*x) - 96*x)*sin(6*x) + (128*x^3 + 128*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 160*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (-320*I*x^3 + 480
*I*x)*sin(2*x) - 192*x)*sin(4*x) - 32*(2*x^3 - 4*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - 3*x)*sin(2*x))*arctan2(sin(x), -cos(
x) + 1) - (16*I*x^4 + 8*x^3 - 12*I*x^2 + (16*I*x^4 + 16*x^3 - 72*I*x^2 - 24*x - 12*I)*cos(4*x) + (-32*I*x^4 +
52*x^3 + 90*I*x^2 + 18*x + 3*I)*cos(2*x) - (16*x^4 - 16*I*x^3 - 72*x^2 + 24*I*x - 12)*sin(4*x) + (32*x^4 + 52*
I*x^3 - 90*x^2 + 18*I*x - 3)*sin(2*x) - 12*x + 6*I)*cos(6*x) - (-32*I*x^4 - 20*x^3 + 30*I*x^2 + (80*I*x^4 - 10
4*x^3 - 276*I*x^2 - 36*x - 6*I)*cos(2*x) - (80*x^4 + 104*I*x^3 - 276*x^2 + 36*I*x - 6)*sin(2*x) + 30*x - 15*I)
*cos(4*x) - (16*I*x^4 + 16*x^3 - 24*I*x^2 - 24*x + 12*I)*cos(2*x) - ((-384*I*x^2 + 192*I)*cos(4*x)^2 + (-384*I
*x^2 + 192*I)*cos(2*x)^2 + (384*I*x^2 - 192*I)*sin(4*x)^2 + (384*I*x^2 - 192*I)*sin(2*x)^2 + (192*I*x^2 + (192
*I*x^2 - 96*I)*cos(4*x) + (-384*I*x^2 + 192*I)*cos(2*x) - 96*(2*x^2 - 1)*sin(4*x) + 192*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) -
96*I)*cos(6*x) + (-384*I*x^2 + (960*I*x^2 - 480*I)*cos(2*x) - 480*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) + 192*I)*cos(4*x) + (1
92*I*x^2 - 96*I)*cos(2*x) - (192*x^2 + 96*(2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 192*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - (-192*I*x^2 + 96*I
)*sin(4*x) - (384*I*x^2 - 192*I)*sin(2*x) - 96)*sin(6*x) + (384*x^2 + 384*(2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 480*(2*x^2 -
1)*cos(2*x) + (-960*I*x^2 + 480*I)*sin(2*x) - 192)*sin(4*x) - 96*(2*x^2 - 4*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - 1)*sin(2*x)
)*dilog(-e^(I*x)) - ((-384*I*x^2 + 192*I)*cos(4*x)^2 + (-384*I*x^2 + 192*I)*cos(2*x)^2 + (384*I*x^2 - 192*I)*s
in(4*x)^2 + (384*I*x^2 - 192*I)*sin(2*x)^2 + (192*I*x^2 + (192*I*x^2 - 96*I)*cos(4*x) + (-384*I*x^2 + 192*I)*c
os(2*x) - 96*(2*x^2 - 1)*sin(4*x) + 192*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) - 96*I)*cos(6*x) + (-384*I*x^2 + (960*I*x^2 - 480
*I)*cos(2*x) - 480*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) + 192*I)*cos(4*x) + (192*I*x^2 - 96*I)*cos(2*x) - (192*x^2 + 96*(2*x^2
- 1)*cos(4*x) - 192*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - (-192*I*x^2 + 96*I)*sin(4*x) - (384*I*x^2 - 192*I)*sin(2*x) - 96)*
sin(6*x) + (384*x^2 + 384*(2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 480*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) + (-960*I*x^2 + 480*I)*sin(2*x) - 19
2)*sin(4*x) - 96*(2*x^2 - 4*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - 1)*sin(2*x))*dilog(e^(I*x)) - (32*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x)^2
+ 32*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x)^2 - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x)^2 - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x)^2 - (32*x^3 + 16*(2*x^
3 - 3*x)*cos(4*x) - 32*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (-32*I*x^3 + 48*I*x)*sin(4*x) - (64*I*x^3 - 96*I*x)*sin(2*x) -
48*x)*cos(6*x) + (64*x^3 - 80*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (-160*I*x^3 + 240*I*x)*sin(2*x) - 96*x)*cos(4*x) - 16*
(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (-32*I*x^3 + (-32*I*x^3 + 48*I*x)*cos(4*x) + (64*I*x^3 - 96*I*x)*cos(2*x) + 16*(2*x^3
- 3*x)*sin(4*x) - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 48*I*x)*sin(6*x) + (64*I*x^3 + (128*I*x^3 - 192*I*x)*cos(4*x) +
(-160*I*x^3 + 240*I*x)*cos(2*x) + 80*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 96*I*x)*sin(4*x) + (-32*I*x^3 + (128*I*x^3 - 19
2*I*x)*cos(2*x) + 48*I*x)*sin(2*x))*log(cos(x)^2 + sin(x)^2 + 2*cos(x) + 1) - (32*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x)^2 + 3
2*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x)^2 - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x)^2 - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x)^2 - (32*x^3 + 16*(2*x^3 -
3*x)*cos(4*x) - 32*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (-32*I*x^3 + 48*I*x)*sin(4*x) - (64*I*x^3 - 96*I*x)*sin(2*x) - 48
*x)*cos(6*x) + (64*x^3 - 80*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (-160*I*x^3 + 240*I*x)*sin(2*x) - 96*x)*cos(4*x) - 16*(2*
x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (-32*I*x^3 + (-32*I*x^3 + 48*I*x)*cos(4*x) + (64*I*x^3 - 96*I*x)*cos(2*x) + 16*(2*x^3 -
3*x)*sin(4*x) - 32*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 48*I*x)*sin(6*x) + (64*I*x^3 + (128*I*x^3 - 192*I*x)*cos(4*x) + (-
160*I*x^3 + 240*I*x)*cos(2*x) + 80*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 96*I*x)*sin(4*x) + (-32*I*x^3 + (128*I*x^3 - 192*I
*x)*cos(2*x) + 48*I*x)*sin(2*x))*log(cos(x)^2 + sin(x)^2 - 2*cos(x) + 1) - ((-384*I*cos(4*x) + 768*I*cos(2*x)
+ 384*sin(4*x) - 768*sin(2*x) - 384*I)*cos(6*x) + (-1920*I*cos(2*x) + 1920*sin(2*x) + 768*I)*cos(4*x) + 768*I*
cos(4*x)^2 + 768*I*cos(2*x)^2 + (384*cos(4*x) - 768*cos(2*x) + 384*I*sin(4*x) - 768*I*sin(2*x) + 384)*sin(6*x)
- (1536*cos(4*x) - 1920*cos(2*x) - 1920*I*sin(2*x) + 768)*sin(4*x) - 768*I*sin(4*x)^2 - 384*(4*cos(2*x) - 1)*
sin(2*x) - 768*I*sin(2*x)^2 - 384*I*cos(2*x))*polylog(4, -e^(I*x)) - ((-384*I*cos(4*x) + 768*I*cos(2*x) + 384*
sin(4*x) - 768*sin(2*x) - 384*I)*cos(6*x) + (-1920*I*cos(2*x) + 1920*sin(2*x) + 768*I)*cos(4*x) + 768*I*cos(4*
x)^2 + 768*I*cos(2*x)^2 + (384*cos(4*x) - 768*cos(2*x) + 384*I*sin(4*x) - 768*I*sin(2*x) + 384)*sin(6*x) - (15
36*cos(4*x) - 1920*cos(2*x) - 1920*I*sin(2*x) + 768)*sin(4*x) - 768*I*sin(4*x)^2 - 384*(4*cos(2*x) - 1)*sin(2*
x) - 768*I*sin(2*x)^2 - 384*I*cos(2*x))*polylog(4, e^(I*x)) - (768*x*cos(4*x)^2 + 768*x*cos(2*x)^2 - 768*x*sin
(4*x)^2 - 768*x*sin(2*x)^2 - (384*x*cos(4*x) - 768*x*cos(2*x) + 384*I*x*sin(4*x) - 768*I*x*sin(2*x) + 384*x)*c
os(6*x) - 384*(5*x*cos(2*x) + 5*I*x*sin(2*x) - 2*x)*cos(4*x) - 384*x*cos(2*x) + (-384*I*x*cos(4*x) + 768*I*x*c
os(2*x) + 384*x*sin(4*x) - 768*x*sin(2*x) - 384*I*x)*sin(6*x) + (1536*I*x*cos(4*x) - 1920*I*x*cos(2*x) + 1920*
x*sin(2*x) + 768*I*x)*sin(4*x) + (1536*I*x*cos(2*x) - 384*I*x)*sin(2*x))*polylog(3, -e^(I*x)) - (768*x*cos(4*x
)^2 + 768*x*cos(2*x)^2 - 768*x*sin(4*x)^2 - 768*x*sin(2*x)^2 - (384*x*cos(4*x) - 768*x*cos(2*x) + 384*I*x*sin(
4*x) - 768*I*x*sin(2*x) + 384*x)*cos(6*x) - 384*(5*x*cos(2*x) + 5*I*x*sin(2*x) - 2*x)*cos(4*x) - 384*x*cos(2*x
) + (-384*I*x*cos(4*x) + 768*I*x*cos(2*x) + 384*x*sin(4*x) - 768*x*sin(2*x) - 384*I*x)*sin(6*x) + (1536*I*x*co
s(4*x) - 1920*I*x*cos(2*x) + 1920*x*sin(2*x) + 768*I*x)*sin(4*x) + (1536*I*x*cos(2*x) - 384*I*x)*sin(2*x))*pol
ylog(3, e^(I*x)) + (16*x^4 - 8*I*x^3 - 12*x^2 - (-8*I*x^3 + 12*x^2 + 12*I*x - 6)*cos(6*x) + (16*x^4 - 16*I*x^3
- 72*x^2 + 24*I*x - 12)*cos(4*x) - (32*x^4 + 52*I*x^3 - 90*x^2 + 18*I*x - 3)*cos(2*x) - (-16*I*x^4 - 16*x^3 +
72*I*x^2 + 24*x + 12*I)*sin(4*x) - (32*I*x^4 - 52*x^3 - 90*I*x^2 - 18*x - 3*I)*sin(2*x) + 12*I*x + 6)*sin(6*x
) - (32*x^4 - 20*I*x^3 - 30*x^2 + (64*x^4 - 32*I*x^3 - 336*x^2 + 48*I*x - 24)*cos(4*x) - (80*x^4 + 104*I*x^3 -
276*x^2 + 36*I*x - 6)*cos(2*x) + (-80*I*x^4 + 104*x^3 + 276*I*x^2 + 36*x + 6*I)*sin(2*x) + 30*I*x + 15)*sin(4
*x) + (16*x^4 - 16*I*x^3 - 24*x^2 - (64*x^4 + 112*I*x^3 - 192*x^2 + 24*I*x)*cos(2*x) + 24*I*x + 12)*sin(2*x) -
6*x + 3*I)/((32*cos(4*x) - 64*cos(2*x) + 32*I*sin(4*x) - 64*I*sin(2*x) + 32)*cos(6*x) + (160*cos(2*x) + 160*I
*sin(2*x) - 64)*cos(4*x) - 64*cos(4*x)^2 - 64*cos(2*x)^2 - (-32*I*cos(4*x) + 64*I*cos(2*x) + 32*sin(4*x) - 64*
sin(2*x) - 32*I)*sin(6*x) - (128*I*cos(4*x) - 160*I*cos(2*x) + 160*sin(2*x) + 64*I)*sin(4*x) + 64*sin(4*x)^2 -
(128*I*cos(2*x) - 32*I)*sin(2*x) + 64*sin(2*x)^2 + 32*cos(2*x))

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int x^3\,{\cos \relax (x)}^2\,{\mathrm {cot}\relax (x)}^3 \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x)

[Out]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int x^{3} \cos ^{2}{\relax (x )} \cot ^{3}{\relax (x )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*cos(x)**2*cot(x)**3,x)

[Out]

Integral(x**3*cos(x)**2*cot(x)**3, x)

________________________________________________________________________________________